Solución al problema 2 de la tarea del método variacional

Función de prueba

f[x_]:=k γ/(x^2+γ^2)

Integrate[f[x]^2,{x,-Infinity,Infinity},Assumptions->Re[γ]>0]

De aquí que k = Sqrt[2 γ/π]

Funcion normalizada

ϕ[x_]:=Sqrt[2 γ/π]* γ/(x^2+γ^2)

Verificando la normalización

Integrate[ϕ[x]^2,{x,-Infinity,Infinity},Assumptions->Re[γ]>0]

energia=Integrate[ϕ[x](-ℏ^2/(2m))D[ϕ[x],{x,2}]+ϕ[x](k/2 x^2)ϕ[x],{x,-Infinity,Infinity},Assumptions->Re[γ]>0]

derivada=D[energia,γ]

Solve[derivada==0,γ]

gamma=((Sqrt[ℏ])/((2^(1/4)) (k^(1/4)) (m^(1/4))))

estimacion=energia/.γ->gamma

El valor exacto es igual a (1/2) ℏ*Sqrt[k]/Sqrt[m]

exacto=(1/2) ℏ*Sqrt[k]/Sqrt[m]

estimacion/exacto

Significa que estimación=Sqrt[2]*exacto

Evaluación de <x^2>

xcuad=Integrate[ϕ[x] (1/2)k x^2ϕ[x],{x,-Infinity,Infinity},Assumptions->Re[γ]>0]

xcuad/.γ->gamma