Análisis de distribución de densidad de energía en el cuerpo negro

Definición de la densidad de energía en términos de la longitud de onda y la temperatura

ρ[λ_,T_]:=8*Pi*h*c/(λ^5(Exp[h*c/(λ*k*T)]-1))

Hagamos gráficas para diferentes valores de la temperatura

Constantes en el SI:

c=2.99792458×10^(8);
h=6.6261×10^(-34);
k=1.3807×10^(-23);

Plot[ρ[λ,1000],{λ,0,10^(-5)}]

Plot[ρ[λ,2500],{λ,0,10^(-5)}]

Manipulate[Plot[ρ[λ,T],{λ,0,10^(-5)}],{T,100,1000}]

Clear[c,h,k]

Análisis de la densidad de energía en casos límites de λ

Cuando λ -> 0

En este caso es claro que Exp[h*c/(λ*k*T)] >>> 1 y por lo tanto ρ ≈ 8*Pi*h*c*Exp[-h*c/(λ*k*T)]/λ^5. Como la función exponencial decae más rápido que cualquier potencia entonces la densidad de energía irá a cero cuando λ va a cero.

Limit[ρ[λ,T],λ->0,Assumptions-> T>0&&c>0&&h>0&&k>0]

Cuando λ -> ∞

rhoennu=ρ[λ,T]/.λ->c/ν

Series[rhoennu,{ν,0,4}]

Este resultado concuerda con la expresión de Rayleigh y Jeans. Al tomar el valor límite se tiene

Limit[ρ[λ,T],λ->∞,Assumptions-> T>0&&c>0&&h>0&&k>0]

Energía total disipada por el cuerpo negro

c=2.99792458×10^(8);
h=6.6261×10^(-34);
k=1.3807×10^(-23);
energia[T_]:=NIntegrate[ρ[λ,T],{λ,0,10^(-2)}]

energia[1000]

energia[100]

energia[500]

Plot[energia[T],{T,0.1,1000}]

Clear[c,h,k]

uno=D[ρ[λ,T],λ]

dos=Expand[λ^6*uno]

tres=dos/.λ->h*c/(x*k*T)

cuatro=Simplify[tres/(8*Pi*c*h)]

cinco=(((-1+(E^x)))^2)*cuatro

resultado=NSolve[cinco==0,x]

xmax=x/.resultado[[2]]

c=2.99792458×10^(8);
h=6.6261×10^(-34);
k=1.3807×10^(-23);
Plot[h*c/(xmax*k*T),{T,0.1,1000}]

Capacidad calorífica de un sólido monoatómico

Clear[c, h, k] (* Borremos las definiciones de c,h,k y R *)

La fórmula de Einstein de la capacidad calorífica es

energiainterna[ν_,T_]:=3*R*h*ν/(k*(Exp[h*ν/(k*T)]-1))

La capacidad caloríca a V constante se obtiene de

capacidad=D[energiainterna[ν,T],T]

Definiendo x=h*⋁/(k*T) se tiene una expresión para la capacidad calorífica

nuevacapacidad=capacidad/.ν->x*k*T/h

Esto significa que cuando T -> ∞ entonces x -> 0. Haciendo un desarrollo en series de tercer orden, alrededor del 0, obtenemos

Normal[Series[nuevacapacidad,{x,0,3}]]

y tomando el límite en que x -> 0

Limit[%,x->0]

Una gráfica alternativa a la que se encuentra en la mayoría de los libros es

Plot[nuevacapacidad/R,{x,0,15},PlotRange->{0,3}]