Teoría de perturbaciones independiente del tiempo

La teoría de perturbaciones independiente del tiempo se basa en obtener aproximaciones a la función de onda y la energía si el hamiltoniano del sistema puede escribirse como

(OverHat[H])=((OverHat[H])^0)+(OverHat[V])'

donde ((OverHat[H])^0) representa un hamiltoniano cuyas funciones propias,(ψ^((0))), y valores propios,(ϵ^((0))), son conocidos.

Así, la corrección a primer orden en la energía del estado i se obtiene de

(Subscript[ϵ, i]^((1)))=<(Subscript[ψ, i]^((0)))|(OverHat[V])'|(Subscript[ψ, i]^((0)))>

y la corrección a segundo order en la energía es

(Subscript[ϵ, i]^((2)))=(∑_(n=0
n≠i)^∞)((|<(Subscript[ϵ, i]^((0)))|(OverHat[V])'|(Subscript[ϵ, n]^((0)))>|)/((Subscript[ϵ, i]^((0)))-(Subscript[ϵ, n]^((0)))))

Así, a segundo order, la energía total se aproxima como

(Subscript[ϵ, i])≈(Subscript[ϵ, i]^((0)))+(Subscript[ϵ, i]^((1)))+(Subscript[ϵ, i]^((2)))

Abordemos el mismo problema del potencial lineal y contrastemos el resultado con el método basado en la combinación lineal de funciones de base

v[x_]:=x;
fpc[n_,x_]:=Sqrt[2]Sin[n*Pi*x];

Lo que se define a continuación está relacionado con el estado n

primerorden[n_]:=Integrate[fpc[n,x] v[x]fpc[n,x],{x,0,1}]

valoresref[n_]:=n^2*Pi*Pi

etotal[n_]:=valoresref[n]+primerorden[n]

Para el estado n = 1

etotal[1]//N

Compare este resultado con el obtenido usando varias funciones de base.

Ejercicio : Aplique este procedimiento para estados mayores a 1

La corrección a segundo orden se obtendrá a partir de lo siguiente

integral[i_,n_]:=Integrate[fpc[i,x]v[x]fpc[n,x],{x,0,1}];
denominador[i_,n_]:=valoresref[n]-valoresref[i];
fraccion[i_,n_]:=integral[i,n]^2/denominador[i,n];
segundoorden[n_,total_]:=Sum[fraccion[i,n],{i,1,n-1}]+Sum[fraccion[i,n],{i,n+1,total}]

Aplicando la corrección a segundo al estado n = 1

segundoorden[1,5]//N

etotalfinal[n_,total_]:=valoresref[n]+primerorden[n]+segundoorden[n,total]

etotalfinal[1,5]//N

Nuevamente compare el resultado con lo obtenido a primer orden y con el método de combinación lineal de funciones de base.