Armónicos esféricos

Autor : Jorge Garza
Fecha : Febrero de 2014

Definición del hamiltoniano dependiente de la parte angular

El laplaciano en coordenadas esféricas tiene la forma
(∇^2)=(∂_rr)+(2/r)(∂_r)+(1/r^2)(Λ^2) ...................................1
con
(Λ^2)=(1/(sen^2)(θ))(∂_(ϕϕ))+(1/sen(θ))(∂_θ)(sen(θ)(∂_θ)) ..................... 2
En estas expresiones, (∂_rr) y (∂_(ϕϕ)) indican derivar dos veces con respecto a r y a ϕ respectivamente. Para una partícula moviendose en una región de potencial cero y que está restringida a moverse sobre la superficie de una esfera,de radio (Subscript[R, c]), la ecuación de Schroedinger tiene la forma
-((ℏ^2)/(2m)) (1/(Subscript[R, c]^2)) (Λ^2)ψ=Eψ,.................................3
o también
 (Λ^2)ψ=-(2m (Subscript[R, c]^2) E/(ℏ^2))ψ.......................................4
Definiendo ϵ=2m (Subscript[R, c]^2) E/(ℏ^2) entonces la ecuación de Schroedinger toma la forma
(Λ^2)ψ=-ϵ ψ....................................................5
Resulta que los armónicos esféricos, Y(θ,ϕ), son solución de esta ecuación diferencial.

En mathematica se usa la instrucción SphericalHarmonicY con cuatro argumentos (l, m, θ, ϕ).

Algunos ejemplos de los armónicos esféricos

Veámos las expresiones de tres esféricos armónicos con l = 0, m = 0; l = 2, m = 0 y l = 3, m = -1

SphericalHarmonicY[0,0,θ,ϕ]

SphericalHarmonicY[2,0,θ,ϕ]

SphericalHarmonicY[3,-1,θ,ϕ]

Ortogonalidad

Los armónicos esféricos cumplen con la relación

(∫_0^π)dθ sen(θ)(∫_0^(2π))(Subscript[Y, l,m]^( * ))(θ,ϕ)(Subscript[Y, lp,mp])(θ,ϕ)\[DifferentialD]ϕ\[DifferentialD]θ=(Subscript[δ, l,lp])(Subscript[δ, m,mp])

Verifique que se cumple la relación anterior a través de la siguiente definición

producto[l_,m_,lp_,mp_]:=Integrate[Sin[θ]Integrate[Conjugate[SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ]]SphericalHarmonicY[lp,mp,θ,ϕ],{ϕ,0,2*Pi}],{θ,0,Pi}]

Encuentre el resultado de producto para varios valores de l, m, lp, mp. Cuando l = lp, m = mp y cuando l es diferente a lp o cuando m es diferente a mp. Recuerde que l = 0, 1, 2, 3, .. y m = -l, -l + 1, -l + 2, .. 0, 1, 2,.., l - 1, l.

l=2;lp=2;m=-1;mp=-1;
producto[l,m,lp,mp]
Clear[l,lp,m,mp];

Gráficas de los armónicos esféricos

Como los armónicos esféricos son cantidades que tienen dependencia con los números complejos entonces para hacer gráficas de ellos es necesario trabajar con su cuadrado.

armonicocuadrado[l_,m_,θ_,ϕ_]:=Conjugate[SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ]]SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ];

A continuación genere varias grñaficas del cuadrado de los armónicos esféricos variando los números cuánticos l y m. Recuerde que cuando la gráfica se ha generado usted puede girarla al poner el apuntador sobre de ella y moviendo el ratón con el botón de la izquierda presionado.

l=1;m=0;
ParametricPlot3D[{Sin[θ]Cos[ϕ]armonicocuadrado[l,m,θ,ϕ],Sin[θ]Sin[ϕ]armonicocuadrado[l,m,θ,ϕ],Cos[θ]*armonicocuadrado[l,m,θ,ϕ]},{ϕ,0,2*π},{θ,0,π},Axes->None,Mesh->None,Boxed->False,PlotPoints->30]
Clear[l,m];

Valores propios de los armónicos esféricos

Como los armónicos esfércos son solución de la ecuación (5) entonces es posible encontrar sus respectivos valores propios (-ϵ). Para este fin definamos el lado izquierdo de la ecuación (5) haciendo uso de la relación (2)

izquierdo[l_,m_]:=(1/Sin[θ]^2)D[SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ],{ϕ,2}]+(1/Sin[θ])D[Sin[θ]*D[SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ],θ],θ]

Si a esta relación se le divide entre la función de onda (el armónico esférico) entonces se tendrá el valor de - ϵ. En el siguiente ejercicio se hace precisamente eso para varios valores de l y m.

Cambie los valores de l y m y observe si existe alguna regularidad

l=0;m=0;
Simplify[Expand[izquierdo[l,m]/SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ]]]
Clear[l,m]

Hagamos una tabla donde reportemos valores de ϵ para diferentes valores de l y m

lmax=7;
Print["----------------------------"];
Print["  l      m      -ϵ"];
For[l=0,l<=lmax,l++,
Print["----------------------------"];
For[m=-l,m≤l,m++,
Print["  ",l,"    ",PaddedForm[m,2],"    ",PaddedForm[Simplify[Expand[izquierdo[l,m]/SphericalHarmonicY[l,m,θ,ϕ]]],3]];
];
];
Print["----------------------------"];
Clear[l,m];

Claramente el valor de ϵ depende de l y no de m. Para una misma l la ϵ toma 2 l + 1  valores. ¿Existe una relación entre el valor de ϵ y el número l? La respuesta es sí ya que ϵ = l(l+1). De nuestra definición de ϵ tenemos que

E= ϵ (ℏ^2)/(2m (Subscript[R, c]^2))=l(l+1)(ℏ^2)/(2m (Subscript[R, c]^2))

Si identificamos al producto m (Subscript[R, c]^2) como el momento de inercia, I, entonces

E= l(l+1)(ℏ^2)/(2I)

Clasicamente la energía de una partícula rotando se obtiene de
E=(1/2)m (v^2)
como p=m v

E=(1/(2m))(p^2)

La magnitud del momento angular, J, se obtiene del producto vectorial entre la posición y el momento lineal. Por lo tanto, cuando estos dos vectores son perpendiculares y la posición de la partícula es restringida a tomar valores (Subscript[R, c]) entonces la magnitud del momento angular es igual a

J = (Subscript[R, c]) p

con lo cual

E = (1/(2 m)) (((J/Rc))^2) = (J^2)/(2 m (Subscript[R, c]^2))

Comparando con nuestra expresión cuántica podemos identificar a

(J^2)=l(l+1)(ℏ^2)

o

J = Sqrt[l (l + 1)] ℏ