Solución de la parte radial de la función de onda del átomo de hidrógeno

Jorge Garza. Marzo de 2017

Deseamos resolver la ecuación diferencial

((d^2)/(dr^2))solR + (2/r) (d/dr)solR - l (l + 1) solR/(r^2) + 2 Z solR/r + 2*eT*solR=0.

Lo que haremos es definir una propuesta de la función de onda

solR[r]=f[r]*Exp[-Sqrt[-2*eT]*r];

Ahora se sustituye solR[r] en la ecuación diferencial

D[solR[r],{r,2}]+2D[solR[r],r]/r-l(l+1)solR[r]/r^2+2 Z solR[r]/r+2*eT*solR[r]

y se factoriza la exponencial en el resultado final

Collect[%,Exp[-Sqrt[-2*eT]*r]]

Proponiendo a la función f[r] como una serie de potencias

f[r_]:=Sum[c[j]*r^j,{j,0,20}]

se sustituye en la ecuación diferencial

Collect[Expand[-((l f[r])/(r^2))-(((l^2) f[r])/(r^2))-((2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) f[r])/r)+((2 Z f[r])/r)-2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) D[f[r],r]+((2 D[f[r],r])/r)+D[f[r],{r,2}]],r]

De aquí se concluye que se debe hacer otra propuesta para la f (r).

Otra forma de definir a la serie de potencias es

f[r_]:=r^σ Sum[b[j]*r^j,{j,0,20}];

y se sutituye en la ecuación diferencial

Collect[Expand[-((l f[r])/(r^2))-(((l^2) f[r])/(r^2))-((2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) f[r])/r)+((2 Z f[r])/r)-2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) D[f[r],r]+((2 D[f[r],r])/r)+D[f[r],{r,2}]],{r^σ,r}]

Cada coeficiente de la serie debe ser igualado a cero

coeficiente0=Solve[-l b[0]-(l^2) b[0]+σ b[0]+(σ^2) b[0]==0,σ]

coeficiente1=Simplify[Solve[-2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) b[0]+2 Z b[0]-2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) σ b[0]+2 b[1]-l b[1]-(l^2) b[1]+3 σ b[1]+(σ^2) b[1]==0,b[1]]]

coeficiente2=Simplify[Solve[-4 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) b[1]+2 Z b[1]-2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) σ b[1]+6 b[2]-l b[2]-(l^2) b[2]+5 σ b[2]+(σ^2) b[2]==0,b[2]]]

coeficiente3=Simplify[Solve[-6 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) b[2]+2 Z b[2]-2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) σ b[2]+12 b[3]-l b[3]-(l^2) b[3]+7 σ b[3]+(σ^2) b[3]==0,b[3]]]

coeficiente4=Simplify[Solve[-8 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) b[3]+2 Z b[3]-2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) σ b[3]+20 b[4]-l b[4]-(l^2) b[4]+9 σ b[4]+(σ^2) b[4]==0,b[4]]]

coeficiente5=Simplify[Solve[-10 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) b[4]+2 Z b[4]-2 (Sqrt[2]) (Sqrt[-eT]) σ b[4]+30 b[5]-l b[5]-(l^2) b[5]+11 σ b[5]+(σ^2) b[5]==0,b[5]]]

Usando la solución para σ = l

coeficiente1/.σ->l

coeficiente2/.σ->l

coeficiente3/.σ->l

coeficiente4/.σ->l

coeficiente5/.σ->l

Esto sugiere la relación de recurrencia

(Subscript[b, j]) = ((2Z-2(Sqrt[-2eT])(j+l))/(-j(j+1)-2jl))(Subscript[b, j-1])para j≥ 1.

Ahora analicemos la función g(r)=(e^(2(Sqrt[-2eT])))

g[r_]:=Exp[2 Sqrt[-2 eT]r]

La serie de potencias de esta función se obtiene de

Series[g[r],{r,0,10}]

Lo más importante es analizar la relación entre los coeficientes cuando el índice toma valores grandes

SeriesCoefficient[g[r],{r,0,30}]/SeriesCoefficient[g[r],{r,0,29}]

SeriesCoefficient[g[r],{r,0,40}]/SeriesCoefficient[g[r],{r,0,39}]

SeriesCoefficient[g[r],{r,0,50}]/SeriesCoefficient[g[r],{r,0,49}]

SeriesCoefficient[g[r],{r,0,60}]/SeriesCoefficient[g[r],{r,0,59}]

SeriesCoefficient[g[r],{r,0,70}]/SeriesCoefficient[g[r],{r,0,69}]

SeriesCoefficient[g[r],{r,0,80}]/SeriesCoefficient[g[r],{r,0,79}]

SeriesCoefficient[g[r],{r,0,90}]/SeriesCoefficient[g[r],{r,0,89}]

Con esto concluimos que esta serie lleva a una relación idéntica a la encontrada para f(r).